Câu này dựa vào nghĩa nhé em.

○ Only after repeated requests by the tenants did the superintendent do something about the broken intercoms in some of the apartments.
= Chỉ sau khi có những yêu cầu được lặp đi lặp lại bởi người dân, người quản lý mới giải quyết những máy liên lạc bị hư trong một vài căn hộ.

Repeated ở đây là V-ed đóng vai trò là tính từ mô tả cho danh từ chính requests, mang nghĩa bị động.

Đây không thể là trường hợp after + V-ing được. Vì khi dùng cấu trúc đó thì hành động V-ing đó là hành động của chủ ngữ chính của câu. Ví dụ:

○ Only after failing three exams in year did the student begin studying hard.
= Chỉ sau khi trượt ba kỳ thi trong một năm, người sinh viên mới bắt đầu học hành chăm chỉ. 

(failing là hành động của the student)

Ở câu em hỏi, repeating (lặp lại) không phải là hành động của the superintendent (người quản lý) nên không thể dùng repeating.