Permit có nghĩa là giấy phép mà nhà nước hay một tổ chức cấp cho mình để mình được phép làm gì đó. Cá nhân không cấp giấy phép này, trừ khi đại diện cho nhà nước hay tổ chức. Ví dụ như giấy phép xây dựng – building permit.

Permission, ngoài nghĩa là “sự cho phép”, còn có nghĩa chính xác là “văn bản cho phép”, là văn bản được tổ chức hoặc cá nhân ghi ra rồi ký tên, đồng ý cho người ta làm gì đó ảnh hưởng đến mình. Ví dụ như khi mình là tác giả một bài hát, mình viết ra một cái đơn đồng ý cho một ca sĩ hát bài này, thì đơn đó gọi là permission.

Với câu em hỏi, nếu dịch nghĩa thì ta thấy đây không phải là giấy phép của nhà nước / tổ chức. Do đó, ta không dùng permit. 

Đây là văn bản cho phép được ký bởi một cá nhân, cho phép người ta thực hiện phẫu thuật với mình. Do đó, ta có thể dùng permission.

○ Before we can begin the surgery, we will need your signed permission authorizing us to perform the procedure.
= Trước khi chúng tôi bắt đầu phẫu thuật, chúng tôi sẽ cần đơn cho phép có chữ ký của bạn để cho phép chúng thôi thực hiện thủ thuật này.