Ta thường nói mission complete mà không nói mission completed là bởi vì đây là một thành ngữ cố định. Người ta vẫn có thể dùng mission completed nhưng ít hơn.

Ta không nói A/the mission is complete/completed bởi vì khi ta muốn dùng một khẩu hiệu ngắn gọn để chỉ trạng thái của một cái gì đó thì ta rút gọn lại thành danh từ + tính từ. Ví dụ như khi ta nâng cấp phần mềm trên máy tính, khi việc nâng cấp hoàn tất thì màn hình có thể hiện ra chữ:

○ Software Updated.

Thay vì hiện đầy đủ là the software has been updated. Tuy nhiên, ta vẫn có thể ghi đầy đủ như vậy nếu muốn.

Trường hợp của mission complete cũng như vậy.

Còn vì sao tính từ nằm sau danh từ thì đó là chuyện bình thường nhé em. Em có thể xem thêm tại link dưới:
https://www.toeicmoingay.com/hoi-dap/tinh-tu-sau-cum-danh-tu-attending-native/